MAXIMOS - MINIMOS Y CERTEZAS
MAXIMOS – MINIMOS Y CERTEZAS
CERTEZAS
Para
resolver problemas sobre certezas, debemos buscar una cierta cantidad de
elementos (la menor posible) para asegurarnos conseguir lo que buscamos.
Para
desarrollar problemas de este tipo debemos analizar las situaciones negativas y
luego se le añaden los elementos necesarios para solucionar el problema.
Se
puede reconocer ese tipo de problemas por lo general con estas palabras en su
formación: mínimo, extraer y seguro.
Ejemplo 1: José ingresa su mano a una bolsa oscura donde hay 6 bolas
blancas y 8 bolas negras. ¿Cuántas bolas como mínimo debe extraer para tener la
certeza de sacar una bola negra?
Analizamos:
-
Si José extrae una bola, no tiene la certeza porque esa bola puede ser blanca.
-
Si José extrae dos bolas, no tiene la certeza porque esas 2 bolas pueden ser
blancas.
-
Si José extrae cuatro bolas, no tiene la certeza porque esas 4 bolas pueden ser
blancas.
-
Si José extrae seis bolas, no tiene la certeza porque esas 6 bolas pueden ser
blancas.
-
Si José extrae siete bolas, si tiene la certeza porque de esas 7 bolas solo 6
pueden ser blancas y la séptima necesariamente será negra.
R.
7 bolas
Ejemplo 2: En una caja cerrada hay 4 bolas negras y 5 bolas blancas.
¿Cuántas bolas se den extraer como mínimo para tener la seguridad de haber elegido
una bola negra?
El
caso negativo más extremo (situación negativa) seria extraer 5 bolas y que
todas sean blancas.
Si
se extraen 6 bolas, necesariamente la sexta bola debe ser negra.
R.
6 bolas
Ejemplo 3: En una caja hay 15 bolas negras, 12 bolas blancas y 10
bolas rojas. ¿Cuántas bolas como mínimo se deben extraer para al azar, de modo
que se obtenga 10 de un mismo color?
En
el caso más extremo negativo o en el peor caso, se debe extraer la mayor cantidad de colores diferentes.
Es
decir: 9 negras + 9 blancas + 9 rojas = 27 bolas; porque al extraer la bola #28
necesariamente obtendremos 10 bolas de un solo color.
R.
9 + 9 + 9 + 1 = 28 bolas
Ejemplo 4: En una urna se tiene 8 dados negros, 8 dados blancos, 8
canicas negras y 8 canicas blancas. ¿Cuántos objetos debo extraer para tener la
seguridad de obtener un par de dados y un par de canicas del mismo color?
El
peor de los casos:
-
Extraer puros dados o puras canicas:
8
dados negros + 8 dados blancos = 16 objetos
-
Luego solo quedan canicas →
extraemos 3 objetos que con seguridad sabemos que habrá un par de canicas del
mismo color.
#
Objetos extraídos: 8 + 8 + 3 = 19
R.
19 objetos
MAXIMOS
Y MINIMOS
I. Situaciones algebraicas:
Generalmente
en este tipo se busca obtener el máximo o mínimo valor de expresiones
cuadráticas.
Se
debe tener en consideración el método de completar cuadrados o método de
completación de cuadrados para un trinomio cuadrado perfecto ax2 +
bx + c = 0
Pasos: ax2
+ bx + c = 0
1°
Convertir la ecuación dada en ecuación mónica.
2°
Escribimos la plantilla.
( )2 -
3°
Se extrae la raíz cuadrada del 1er término, colocando dentro del paréntesis.
(x )2
-
4°
Se copia el signo del 2do término, colocando dentro del paréntesis.
(x
+ )2
-
5°
Se saca la mitad del coeficiente de x, colocando dentro del paréntesis.
(x
+ b/2)2 –
6°
El resultado del paso anterior se eleva al cuadrado y se coloca al lado
derecho.
(x
+ b/2)2 – (b/2)2
7°
Se coloca al final el término independiente.
(x
+ b/2)2 – (b/2)2 + c
Nota:
En ciertos casos se puede aplicar el método de las inversas:
Si
x > 0 → x +
1/x ≥ 2 ; x ϵ
R
Ejemplo 5: Si B = x2 – 18x + 19
Hallar el valor mínimo de B.
Completamos
cuadrados
1°
La ecuación es mónica.
2°
( )2 -
3°
(x )2 -
4°
(x - )2 -
5°
(x - 9)2 -
6°
(x - 9)2 – 81
7°
(x - 9)2 – 81 + 19
B
= (x - 9)2 – 62
Para
hallar el mínimo valor deducimos lo siguiente:
(x
- 9)2 siempre será mayor o igual a cero
(x
- 9)2 ≥ 0
(x
- 9)2 – 62 ≥ 0 –
62 → B ≥ -
62
El
mínimo valor para B es - 62
B(min)
= - 62
Ejemplo 6: Si A = (40 + x)(10 – x) donde x ϵ R+
Hallar el máximo valor de A.
-
en la operación (40 + x) + (10 – x) = 50
(suma constante)
-
Para que A(max) los factores deben ser iguales:
(40
+ x) = (10 – x) = 25
A(max)
= (40 + x)(10 – x) = (25)(25) = 625
R.
625
II. Situaciones Aritméticas:
Caso
A:
Si a + b = K; K es constante
→ (a.b)máx. cuando a = b =
(a.b)máx
= (
|
Ejemplo 7: Hallar las dimensiones de un rectángulo de máxima área,
cuyo perímetro es 48m.
Sean:
a y b los lados del rectángulo
Perímetro
(P) = 2a + 2b = 48
a
+ b = 24
Para
hallar el Área (S) = (a.b)max → a
debe ser máxima.
(a.b)máx
= (
)=
→ (a.b)máx = (
)=
amax = (
→ a = 12
y b = 12
R.
12m y 12m
Caso
B:
Si a x b = K; K es constante
→ (a.b)min. cuando a = b =
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