AREAS DE REGIONES SOMBREADAS
AREAS DE REGIONES SOMBREADAS
Es la medida del espacio que ocupa la figura (superficie)
Área
de una región circular (A○):
A○ =
R2
R = radio
Área
de una región triangular (A∆):
A∆ =
b = base
h = altura
Área
de una región triángulo equilátero (A∆):
A∆ =
A∆ =
L = lado
Área
de una región cuadrangular (A□):
A□ = L2
A□ =
L = lado
d = diagonal
Área
de una región rectangular (A▄):
A▄ = La
L = largo
a = ancho
Área
de una región de un paralelogramo:
Área = La
L = largo
a = ancho
Área
de una región de una corona circular:
Área = π(R2
– r2)
R = radio mayor
r = radio menor
´
Área
de una región trapecio circular:
Área =
(R2 – r2)
R = radio mayor
r = radio menor
Área
de una región trapezoidal:
Área = (
)h
B = base mayor
b = base menor
h = altura
Área
de una región circular:
Área =
Área =
Área =
R = radio
=
ángulo (radianes)
L = longitud del arco
Área
de la región de un segmento circular:
Área = Área región circular
–
Area ∆AOB
Área =
-
R = radio
=
ángulo (radianes)
PROPIEDADES
a) TRIANGULO:
Si:
=
→ S1 = S2
S1 y S2 = áreas
- E es punto medio de
- F es punto medio de
- G es punto medio de
→ S1 = S2 = S3 = S4
b) CUADRILATERO:
- E es punto medio de
- F es punto medio de
- G es punto medio de
- H es punto medio de
→ S1 =
- E es punto medio de
→ S1 =
METODOS
DE SOLUCION
METODO
DIRECTO:
Se aplica directamente una fórmula para hallar el área.
Ejemplo 1: Hallar el área de la región
sombreada si:
= 2u
y
= 6
u
Sol.
Recordar propiedad
Área =
-Trazamos rectas para formar el ∆AOB recto en O.
- En el ∆AOB:
ABO =
ABC +
CBO
CBO = 45° =
BCO
- Si
=
6
u
=
6u
- Área sombreada:
Área =
=
=
6u
METODO
DE LAS DIFERENCIAS:
El área pedida se ha restado un área menor de un área
mayor.
Ejemplo 2: Hallar el área sombreada:
Sol.
- El área sombreada es la resta del área del cuadrado
menos el área del circulo inscrito dentro de ella.
- Atotal = A□ - A○
- A□
lado = 8cm
A□ = L2 = 64cm2
- A○
radio = 4cm
A○ =
R2 =
16cm2
Atotal
= A□ - A○
Atotal = 64cm2 -
16cm2
Atotal = 16(4 –
)cm2
METODO
DE LOS TRAZOS Y LAS PROPORCIONES:
Consiste en hacer trazos auxiliares para convertir la
figura sombread en parte proporcional de la figura a la que pertenece.
Ejemplo 3: Hallar el área sombreada si se sabe
que ABCD es un rectángulo.
= 12u y
= 10u. Además m y n son puntos medios de
y
respectivamente.
Sol.
- Realizamos trazos auxiliares al rectángulo ABCD, de tal
manera que el triángulo mBn sea proporcional a dicho rectángulo.
- El área del ∆mBn es la 8va parte del área del
rectángulo ABCD
Atotal = Área ABCD
8
Atotal = (12 x 10)
8 = 15u
METODO
DE LAS TRASLACIONES:
Es el traslado de partes de las regiones a ciertos
espacios de la figura para obtener una región regular conocida.
Ejemplo 4: Hallar el área sombreada si ABCD es
un cuadrado de 20 cm de lado.
Sol.
- Trazamos la recta
- Trasladamos regiones R y S
- ∆ABO es la cuarta parte del cuadrado ABCD
Atotal =
=
= 100cm2
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar el área de un triángulo rectángulo cuya
hipotenusa es 15cm y sus catetos están en relación de 3 a 4.
a) 40cm2 b)
44cm2 c) 48cm2
d) 50cm2 e)
54cm2
2. Hallar el área de la región sombreada si ABDC es un
cuadrado de 10m de lado y m es punto medio de
a) 20m2
b) 25m2
c) 30m2
d) 35m2
e) 40m2
3. Si ABCD es un cuadrado de 12u de lado y además "n"
es punto medio de
. Hallar el área de la
región sombreada
a) 8u2 b)
10u2 c) 12u2
d) 18u2 e)
24u2
4. Hallar el área sombreada, el radio del cuadrante
circular es 2
a) 2
+ 2
b) 2
- 3
c) 3
+ 3
d) 3
- 2
e) 3
- 4
5. Hallar el área sombreada si el radio del círculo es
4cm.
a) 8
cm2
b) 8
cm2
c) 16
cm2
d) 16
cm2
e) 32
cm2
6. Si ABCD es un rectángulo,
=
5u y
=
10u.
Hallar el área sombreada.
a) 20u2
b) 25u2
c) 30u2
d) 35u2
e) 40u2
Descargar Archivo
Descargar Solucionario
Si: =
Sol.
Sol.
